Trường THCS Châu Văn Liêm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Thời gian : 120 phút

Bài 1 ( 5 đ ) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a/
+
= 8
b/

Bài 2:(4đ) Cho đường thẳng (m+2)x – my = -1 (d) (m là tham số)
Chứng minh khi m thay đổi đường thẳng (d ) luôn đi qua một điểm cố định .
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (d ) lớn nhất.
Bài 3 ( 3 đ ) Cho
có
;
. AM là đường trung tuyến của tam giác.
;
. Chứng minh

Bài 4 ( 7 đ) Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C. Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF .
a. Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi .
b. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh rằng : EK // AB .
c. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi.
Bài 5:(2đ) Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
















ĐÁP ÁN VÀ CHO ĐIỂM
Câu
Đáp án
Cho điềm

1
a/ Giải phương trình
+
= 8

+
= 8
(
+
= 8
(
+
=8
(
+ 4+
= 8 (x
5)
(
= 2
( x – 5 = 1( x = 6
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {6 }




(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)


b/

Cộng từng vế của hệ ta có

Kết hợp phương trình này với từng phương trình của hệ (I ) ta có
(a)

( xyz )2 = 36
xyz =

Với xyz =6 kết hợp với hệ (a) ta có

Với xyz = - 6 kết hợp với hệ (a) ta có

Vậy hệ trên có nghiệm ( 1 ; 2 ; 3 ) hoặc ( - 1 ; -2 ; -3)



0,5đ






0,5đ

0,5đ


0,5đ

0,5đ





0,5đ

2
a/ (2đ) (m+2)x – my = -1 (1)
Gọi M ( x0 , y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng đi qua
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (d) đi qua điểm cố định M(x0;y0)
(m là : (m+2)x0 – my0 = -1 (m
Biến đổi được:

(

Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M(-1/2;-1/2)




(0,5đ)
(0,5đ)


(0,5đ)


(0,5đ)


b/ (2đ) Gọi A là điểm của đường thẳng (d) với trục tung
x = 0 ( y =
do đó OA =

B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành
y = 0 ( x =
do đó OB =

h là khoảng cách từ O đến đường thẳng (d).
(
=
+
= m2 + (m + 2)2
= 2(m + 1)2 + 2
2
(

2;
Giá trị nhỏ nhất của h =
( m = -1

(0,25đ)



(0,25đ)




(0,5đ)


(0,5đ)

(0,5đ)


3

Cho
có
;
. AM là đường trung tuyến của tam giác.
;
. Chứng minh










Kẻ đường cao AH
Xét tam giác vuông AHM ta có

(1)
Xét tam giác vuông AHC ta có


Xét tam giác vuông ABC ta có



(2)
Từ (1) ,(2)