Trường THCS Châu Văn Liêm ĐỀ THAM KHẢO KỲ THI OLYMPIC
Năm học: 2011 – 2012
…………………
Môn Toán 9
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (2,5 điểm)
Giải phương trình:

Bài 2: (2,5 điểm)
Tìm hai chữ số tận cùng của

Bài 3: (2,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi n, đa thức x2n – xn + 1 không chia hết cho x2 + x + 1.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có độ dài các cạnh là BC = a, AC = b, AB = c, nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ một điểm bất kỳ trên cung BC (P và A khác phía đối với BC), kẻ PK vuông góc BC tại K, PL vuông góc AC tại L, PM vuông góc AB tại M. Gọi độ dài các đoạn PK, PL, PM theo thứ tự là x, y, z. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng


----------- Hết---------
Trường THCS Châu Văn Liêm ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Bài 1:
2,5 điểm

 Phân tích:

1,5

 Suy ra: x = 1; y = 2; z = 3
1

Bài 2:
2,5 điểm

Ta có:

0,5



1



0,75

Vậy hai chữ số tận cùng là 36
0,25

Bài 3:
2,5 điểm

Giả sử x2n – xn + 1
x2 + x + 1 tức là
x2n – xn + 1 = (x2 + x + 1).q(x) (1)
với q(x) là một đa thức. Vì x2n – xn + 1 và x2 + x + 1 là những đa thức với hệ số nguyên và x2 + x + 1 có hệ số cao nhất bằng 1 nên q(x) là một đa thức với hệ số nguyên.
Từ (1) cho x = 1 thì được: 1 = 3.q
Đẳng thức này không thể xảy ra vì q là một số nguyên. vô lý
2,5

Bài 4:
2,5 điểm






Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho:
BPD =
APC
Suy ra
BPD và
APC đồng dạng. Hai
BPA và
DPC cũng đồng dạng. trong hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa các cạnh và đường cao tương ứng bằng nhau, nên ta có
0,75



0,75

Cộng (1) và (2). Ta suy ra S =

0,5

S đạt giá trị nhỏ nhất khi x đạt giá trị lớn nhất tức
. Lúc đó S = 4
0,5